Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника - это совпадающие точки.
Определение. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB
= CD
; BC
= AD
.
2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A
= ∠C
; ∠B
= ∠D
.
3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .
Определение. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - нет.
Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами .
1. Трапеция
, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней
(рис. 12).
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
107. Мы знаем (п. 102), что геометрическим местом точек, равноотстоящих от двух данных параллельных прямых, служит средняя параллельная. Если таким образом AB и CD (чер. 114) суть две параллельные и MN для них средняя параллельная, то расстояния любой точки E этой средней параллельной от AB и CD равны между собою, т. е., построив EF ⊥ AB и EG ⊥ CD, получим, что EF = EG.
Ясно, что построенные перпендикуляры EF и EG составляют продолжение друг друга и образуют один отрезок FG, перпендикулярный к нашим параллельным AB и CD, причем этот отрезок делится среднею параллельною (в точке E) пополам. Итак, всякий отрезок, перпендикулярный к двум параллельным и заключенный между ними, делится среднею параллельною пополам .
Возникает теперь вопрос: не будет ли также делиться пополам среднею параллельною какой-нибудь отрезок KL, не перпендикулярный к AB и CD. Пусть KL пересекается с MN в точке O. Построим через точку O перпендикулярный к прямым AB и CD отрезок HI. Тогда OH = OI. Так как, кроме того, ∠HOK = ∠IOL, как вертикальные, то прямоугольные треугольники OHK и OIL равны, откуда следует, что OK = OL. Итак, оказывается, что и любой отрезок, заключенный между двумя параллельными, делится среднею параллельною пополам.
Пусть AB || CD (чер. 115). Построив между ними ряд каких-либо отрезков EF, GH, KI и т. д., мы, согласно предыдущему, найдем, что середины этих отрезков лежат на средней параллельной MN. В общем итоге мы приходим к следующему заключению:
Геометрическим местом середин всевозможных отрезков, заключенных между двумя параллельными, служит средняя параллельная.
Отсюда возникают возможности различных построений средней параллельной для двух данных параллельных прямых: 1) мы можем, построим любой отрезок EF, заключенный между двумя данными параллельными AB и CD, разделить его пополам и через его середину построить прямую MN || AB || CD - это прямая MN и должна служить среднею параллельною, и она должна делить пополам всевозможные отрезки (напр., GH, KI и т. д.), заключенные между AB и CD. 2) Мы можем построить два отрезка, напр., EH и KI, заключенные между AB и CD, разделить каждый из них пополам и через их середины построить прямую MN - она и должна служить среднею параллельною.
108. Применим свойства средней параллельной к знакомым нам фигурам и прежде всего треугольнику.
Пусть имеем ∆ABC (чер. 116). Здесь непосредственно мы не имеем двух параллельных, но мы всегда можем их получить, напр., построив через вершину A прямую EF || BC (эту прямую EF можно было бы и не рисовать на чертеже, так как она существенной роли не играет в дальнейшем и так как достаточно лишь знать, что она существует). Тогда мы имеем две параллельных BC и EF и два отрезка AB и AC, заключенных между ними. Разделив их пополам в точках M и N (AM = MB и AN = NC) и построив через M и N прямую MN, мы получим среднюю параллельную MN, т. е. MN || BC (и || EF, но это для нас не существенно). Из этого заключаем:
прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна его третьей стороне.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют среднею линиею треугольника . Итак, у нас отрезок MN есть средняя лини нашего треугольника.
Пусть имеем ∆ABC (чер. 117). Разделим пополам каждую из его сторон: пусть M есть середина AB (сл. AM = MB), N - середина AC (AN = NC) и P - середина BC (BP = PC); соединим точки M, N и P отрезками MN, MP и PN, - каждый из этих отрезков является среднею линиею для нашего треугольника. Таким образом в треугольнике имеется три средних линии.
Согласно предыдущему, будем иметь: MN || BC, MP || AC и NP || AB. Поэтому AMPN, BMNP и PMNC суть параллелограммы. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то имеем: MN = BP (из параллелограмма BMNP), но BP = BC/2 (ибо точка P есть середина BC); поэтому MN = BC/2. Также из параллелограмма AMPN получим: MP = AN = AC/2 и из параллелограмма AMPN - PN = AM = AB/2. Отсюда заключаем:
каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей и равна ее половине.
109. Перейдем теперь к четырехугольникам и остановимся сначала на таких четырехугольниках, у которых две стороны параллельны. Принято называть такие четырехугольники трапециями . На чер. 118 изображены два различных вида трапеций: 1) трапеция ABCD, где BC || AD, но AB не параллельна CD, - эта трапеция имеет площадь (см. п. 79) и 2) трапеция A"B"C"D", где A"D" || B"C", - эта трапеция не имеет площади (п. 79).
Рассмотрим сначала трапецию ABCD (чер. 118 bis), имеющую площадь. Здесь BD || AD. Поэтому мы имеем две параллельных BC и AD и между ними отрезки AB и CD. Разделив эти отрезки пополам в точках M и N (AM = MB и CN = ND) и соединив их прямою MN, получим среднюю параллельную MN для BC и AD, т. е. MN || BC || AD. Отрезок MN этой прямой называется средней линиею трапеции (следует добавить: «соединяющей середины непараллельных сторон», потому что в трапеции, как и во всяком четырехугольнике, можно рассматривать 6 средних линий, что имеет место в п. 110). Итак, мы получили, что MN || BC || AD. Далее, построив диагональ AC, получим еще третий отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD - его середина должна лежать (п. 107) на средней параллельной, т. е. точка P, где пересекаются MN и AC, есть середина отрезка AC. Поэтому MP есть средняя линия треугольника ABC и PN - средняя линия ∆ACD. На основании предыдущего, имеем: MP = BC/2 и PN = AD/2. Отсюда получаем: MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 или MN = (BC + AD)/2. Итак,
средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, имеющей площадь, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полусумме .
Пусть теперь имеем трапецию ABCD (чер. 118 bis), неимеющую площади. Здесь также BC || AD и поэтому середины M и N сторон AB и CD лежат на средней параллельной, т. е. здесь также имеем: MN || BC || AD. Построив диагональ AC, получим отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD, и его середина, точка P, должна лежать на средней параллельной. Поэтому PM есть средняя линия треугольника ABC и, следовательно PM = BC/2; также PN есть средняя линия ∆ABC и, след., PN = AD/2. Так как MN = PN – PM, то получим MN = PN – PM = AD/2 – BC/2 или MN = (AD – BC) / 2. Итак,
средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, неимеющей площади, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полуразности.
110. Пусть имеем какой-либо четырехугольник ABCD (имеющий площадь) - (чер. 119). Найдем середины M, N, P и Q его сторон и соединим их попарно. Получим 6 средних линий четырехугольника.
Вот свойства этих средних линий.
1) Средние линии, соединяющие середины последовательных сторон четырехугольника, образуют параллелограмм.
Для выяснения этого свойства построим диагональ AC. Тогда из ∆ABC имеем (п. 108) MN || AC и из ∆ACD на том же основании: PQ || AC, - следов., MN || PQ. Построив другую диагональ BD, найдем при ее помощи, что NP || MQ, следовательно, MNPQ есть параллелограмм.
2) Средние линии четырехугольника, соединяющие середины противоположных сторон, взаимно делятся пополам .
Это свойство теперь очевидно, так как MP и NQ являются диагоналями параллелограмма.
Через точку O пересечения прямых MP и NQ проходят также прямые, соединяющие середины диагоналей AC и BD (на чертеже диагональ BD не дана). Это следует из того, что AC И BD являются сторонами четырехугольника ACBD, не имеющего площади, к которому применимо все, изложенное в начале этого п.
111. Мы умели (пп. 57, 59) делить отрезок пополам и, следов., на 4, на 8 и вообще на 2n равных частей. Теперь мы можем разделить данный отрезок на 3, на 5 и вообще на сколько угодно равных частей.
Пусть, напр., требуется отрезок AB (чер. 120) разделить на 5 равных частей. Построим через точку A произвольную прямую AC (образующую с AB угол, отличный от выпрямленного) и отложим на AC пять произвольных, но равных между собою, отрезков AE = EF = FG = GH = HO. Построим прямую OB и через точки E, F, G и Н построим прямые EE", FF", GG", HH", параллельные OB.
Рассмотрим ∆AFF", так как AE = EF, то E есть середина стороны AF и EE" (она || FF") есть средняя линия этого треугольника, следовательно, AE" = E"F".
Рассмотрим затем трапецию EE"G"G. Так как EF = FG, FF" || EE", то FF" есть средняя линия трапеции EE"GG", - следовательно, E"F" = F"G". Также найдем, что GG" есть средняя линия трапеции FF"H"H и, следов., F"G" = G"H" и т. д. Соединяя полученные равенства, найдем AE" = E"F" = F"G" = G"H" = H"B", т. е. отрезок AB разделился на 5 равных частей.
Из решения этой задачи можно вывести заключение:
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и чрез их концы построить ряд параллельных прямых, то и на другой стороне угла получим равные между собой отрезки.
Добавление . Мы откладывали равные отрезки на одной прямой подряд, начиная от точки пересечения двух прямых (AB и AC чертежа 120), но возможно к такому же результату прийти и при ином способе отложения равных отрезков. На чертеже 120 bis дано два варианта такого построения: на прямой AD (см. чер. 120 bis слева или справа) отложим два равных отрезка AB и CD и через их концы построим параллельные AA" || BB" || CC" || DD". Затем возьмем точку O, середину отрезка BC, и построим OO" || BB" || CC" || AA" || DD". Тогда OO" есть средняя линия трапеции BCC"B"; поэтому B"O" = O"C (п. 109). Так как AB = CD и BO = OC, то AO также = OD; поэтому OO" есть также средняя линия трапеции ADD"A" (на чертеже справа эта трапеция ADD"A" - не имеющая площади, см. п. 109) - и также A"O" = O"D". Отсюда имеем A"O" – B"O" = O"D" – O"C" (ибо и уменьшаемые и вычитаемые обеих разностей равны), или A"B" = C"D". Возможны и иные комбинации (напр., отр. CD правой фигуры отодвинуть так, чтобы точка C оказалась правее точки пересечения прямых AD и A"D"). Общее заключение таково: если построены две прямые, на одной из них отложены как-либо два равных отрезка и через концы их построены параллельные, то эти последние выделят и на другой прямой два равных между собою отрезка.
112. Упражнения .
Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Теорема:
Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
Теорема:
Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований
MN || AB || DCMN средняя линия, AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны
MN = (AB + DC)/2
Теорема:
Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.
AM = MC and BN = NC
=>
Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2
В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.
1. Свойства треугольника:
· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.
2. Свойства четырёхугольника:
· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.
3. Свойства трапеции:
· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;
· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
Биномиальные коэффициенты
Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...
Биномиальные коэффициенты
1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...
Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...
Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...
Обобщение классических средних величин
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...
Основные понятия математической статистики
При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...
Простейшие способы обработки опытных данных
Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...
Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий
Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...
Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита
Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...
Случайные вектора
Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...
Статистические расчеты содержания влаги
Численное интегрирование разными методами
Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...
Численные методы
1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .
Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .
Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.
Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .
Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .
Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.
2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\) .
Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .
3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .